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ⓘ Orientazione



Orientazione
                                     

ⓘ Orientazione

In geometria un orientazione di uno spazio è una scelta con cui si identificano come "positive" alcune configurazioni di vettori e "negative" altre. Queste configurazioni positive e negative sono ottenute luna dallaltra tramite riflessione, come in uno specchio.

La nozione di orientazione è presente in tutta la geometria moderna, ed ha numerose applicazioni in fisica ad esempio nellelettromagnetismo e nella simmetria CP ed in chimica ad esempio, nel concetto di chiralità.

                                     

1. Orientazione di uno spazio vettoriale

Il concetto base di orientazione è definito in uno spazio vettoriale reale, come ad esempio il piano cartesiano o un più generico spazio euclideo. La definizione si estende successivamente ad altri tipi di spazi, come ad esempio le superfici o le varietà.

                                     

1.1. Orientazione di uno spazio vettoriale Basi positive e basi negative

Una base per uno spazio vettoriale V {\displaystyle V} è un insieme ordinato v 1, …, v n {\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}} di vettori indipendenti che generano tutto V {\displaystyle V}.

Uno spazio vettoriale ha due tipi di basi: la scelta di un orientazione di V {\displaystyle V} consiste nel chiamare "positive" le basi di un tipo e "negative" le altre.

Più precisamente, si definisce sullinsieme delle basi per V {\displaystyle V} una relazione di equivalenza nel modo seguente. Per ogni coppia di basi esiste una trasformazione lineare che manda la prima base nella seconda. Il determinante di questa trasformazione è un numero reale ed è diverso da zero perché una trasformazione di questo tipo è un isomorfismo. Due basi sono equivalenti se il determinante della trasformazione che le collega è positivo. Per le proprietà del determinante, questa è in effetti una relazione di equivalenza.

Questa relazione di equivalenza divide linsieme delle basi in due classi. Non vi è però nessun argomento a priori che permetta di identificare gli elementi di una classe come "positivi" e gli altri come "negativi": l orientazione dello spazio V {\displaystyle V} consiste proprio nella scelta arbitraria di una classe positiva. Poiché ci sono due classi, le scelte possibili sono due: quindi V {\displaystyle V} ha due possibili orientazioni.

                                     

1.2. Orientazione di uno spazio vettoriale Esempi

Lo spazio euclideo è normalmente considerato uno spazio già orientato: usualmente una base v 1, …, v n {\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}} è considerata positiva se e solo se il determinante

det v 1 | … | v n {\displaystyle \detv_{1}|\ldots |v_{n}}

della matrice quadrata ottenuta mettendo in fila i vettori colonna v 1, …, v n {\displaystyle v_{1},\ldots,v_{n}} è positivo. In questo modo la base canonica è sempre positiva: infatti la matrice che si ottiene è la matrice identità, che ha sempre determinante 1. Ad esempio, in dimensione due, la base canonica è

e 1 = 1 0, e 2 = 0 1 {\displaystyle e_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\ e_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}

e questa è positiva perché

det 1 0 1 = 1 > 0 {\displaystyle \det {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=1> 0}

Daltro canto, la base

v 1 = 0 1, v 2 = 1 {\displaystyle v_{1}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},\ v_{2}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}

è negativa, poiché

det 0 1 = − 1 < 0. {\displaystyle \det {\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}=-1
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