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ⓘ Equazione di Acuña-Romo



Equazione di Acuña-Romo
                                     

ⓘ Equazione di Acuña-Romo

In ottica geometrica e ingegneria ottica, l equazione di Acuña-Romo rappresenta la soluzione al problema del disegno di una lente priva del difetto dellaberrazione sferica. Data la forma della prima delle due superfici di una lente, lequazione stabilisce come debba essere la forma della seconda superficie al fine di correggere completamente labberrazione sferica generata dalla prima superficie, per un oggetto puntuale posto sullasse ottico della lente. Lequazione fu pubblicata per la prima volta nel 2018 in un articolo apparso sulla rivista Applied optics, edita dalla Optical Society of America, e scritto da Rafael Guillermo González Acuña, dellUniversità nazionale autonoma del Messico, ed Héctor Alejandro Chaparro Romo, dellIstituto tecnologico di Monterrey.

                                     

1. Importanza dellequazione

Il fenomeno ottico dellaberrazione sferica, ossia il fenomeno per cui in una lente con superficie sferica i fasci di luce più lontani dallasse ottico vengono focalizzati ad una distanza diversa rispetto a quelli più centrali, provocando un difetto nella nitidezza dellimmagine proiettata, fu scoperto circa duemila anni fa dal matematico greco Diocle, vissuto tra il III e il II secolo a.C., che ne scrisse nel suo trattato Περὶ πυρέιων Sugli specchi ustori.

Nel tempo, il problema di come evitare il sorgere di tale difetto è stato affrontato da alcuni tra i più grandi matematici e scienziati di sempre. Nel suo Traité de la lumière, pubblicato nel 1690, ad esempio, al fine di eleminare laberrazione sferica Christiaan Huygens propose un sistema di lenti sferiche congiunte, menzionando anche, nellintroduzione dellopera, che sia Isaac Newton che Gottfried Wilhelm Leibniz avevano affrontato lo stesso problema. Nel sesto capitolo dellopera, poi, Huygens prova anche a risolvere il problema numericamente, sottolineando come Cartesio, in passato, avesse fallito nellimpresa.

Nel 1949, poi, G. D. Wasserman e E. Wolf proposero di utilizzare due superfici asferiche adiacenti per correggere le aberrazioni sferiche e di coma da "cometa", per l’effetto generato a forma di coda, con una soluzione composta da due equazioni differenziali simultanee del primo ordine, che venivano risolte con un’analisi numerica non definitiva. Anche se di fatto essi non fornivano una soluzione analitica, il risultato fu linvenzione e la messa in commercio di lenti asferiche, le quali possono correggere in modo ottimale laberrazione permettendo di concentrare i raggi luminosi su un unico punto ideale, garantendo così immagini a fuoco dal centro fino ai bordi, ma che non hanno un punto ideale di fuoco matematicamente definito. L’equazione di Acuña-Romo, invece, descrive una formula per la realizzazione di una lente bi-asferica priva di aberrazioni sferiche. Attraverso di essa, viene quindi matematicamente stabilita la forma che deve avere la seconda superficie di una lente asferica rispetto a una forma della prima superficie fornita dall’utilizzatore e alla distanza dell’oggetto ripreso. Prima dei due ricercatori messicani, una soluzione analitica al problema era stata proposta nel 2014 da Juan Camilo Valencia Estrada, ma essa era valida solo per alcuni casi particolari.

                                     

2. Derivazione matematica

Data una prima superficie r a, z a {\displaystyle r_{a},z_{a}}, si deve determinare la forma della seconda superficie della lente, r b, z b {\displaystyle r_{b},z_{b}}, al fine di correggere laberrazione sferica generata dalla prima superficie. Lorigine del sistema di coordinate cilindriche si trova al centro della superficie di entrata z a 0 = 0. {\displaystyle z_{a}0=0.}

Sia n {\displaystyle n} lindice di rifrazione della lente, definita come radialmente simmetrica, e t {\displaystyle t} lo spessore della lente nel centro, e siano t a {\displaystyle t_{a}} la distanza delloggetto dalla prima superficie e t b {\displaystyle t_{b}} la distanza tra la seconda superficie e limmagine, allora la prima equazione fondamentale per questo modello è la forma vettoriale della legge di Snell:

v 2 = 1 n \end{array}}}}{\displaystyle {1-n^{2}}}},\\\\r_{b}=\displaystyle {r_{a}+{\frac {r_{i}z_{b}-z_{a}}{z_{i}+r_{a}}}}.\end{cases}}}

Il ± {\displaystyle \pm } deriva dal fatto che, quando lindice di rifrazione è positivo vale a dire nel caso di un materiale naturale, i raggi vengono riflessi nella direzione opposta, mentre il contrario accade quando lindice di rifrazione è negativo vale a dire nel caso di un metamateriale. Le variabili ausiliarie sono:

{ f i = − sgn t a r a 2 + t a − z a 2 + t a − t b, h 0 = n f i z i − n 2 t z i + z a + r i 2 z a − r a r i z i + z i 2 t + t b, h 1 = r a 2 + 2 r a r i t + t b − z a 2 + t 2 r i 2 + − 1 + z i 2) − 2 t b − z a − 1 + z i. {\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle {f_{i}=-{\text{sgn}}t_{a}{\sqrt {r_{a}^{2}+t_{a}-z_{a}^{2}}}+t_{a}-t_{b}},\\\\\displaystyle {h_{0}=nf_{i}z_{i}-n^{2}tz_{i}+z_{a}+r_{i}^{2}z_{a}-r_{a}r_{i}z_{i}+z_{i}^{2}t+t_{b}}\,\\\\\displaystyle {h_{1}=r_{a}^{2}+2r_{a}r_{i}t+\leftt_{b}-z_{a}\right^{2}+t^{2}\leftr_{i}^{2}+\left-1+z_{i}\right^{2}\right)-2t\leftt_{b}-z_{a}\right\left-1+z_{i}\right}.\end{cases}}}

Le condizioni di validità dell’equazione di Acuña-Romo sono che il vettore normale alla superficie sia perpendicolare al piano tangente alla superficie di entrata nellorigine e che i raggi non si intersechino allinterno della lente.

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